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一篇让你学会组合问题！
发布时间：2025-11-04 16:23:56 来源：云智核 作者：数据库
组合
力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
给定两个整数 n 和 k，篇让返回 1 ... n 中所有可能的组合 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4,问题 k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
本题这是回溯法的经典题目。
直接的篇让解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，组合很容易想到 用两个for循环，问题这样就可以输出 和示例中一样的篇让结果。
代码如下：
int n = 4; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { cout << i << " " << j << endl; } }输入：n = 100,组合 k = 3 那么就三层for循环，代码如下：
int n = 100; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { for (int u = j + 1; u <= n; n++) { cout << i << " " << j << " " << u << endl; } } }如果n为100，问题k为50呢，篇让那就50层for循环，组合是问题不是开始窒息。
此时就会发现虽然想暴力搜索，篇让但是组合用for循环嵌套连暴力都写不出来!
咋整?
回溯搜索法来了，虽然回溯法也是问题暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
那么回溯法怎么暴力搜呢?
上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。服务器租用
递归来做层叠嵌套(可以理解是开k层for循环)，每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。
此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。
一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了!
如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。
我们在关于回溯算法，你该了解这些!中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构(N叉树)，用树形结构来理解回溯就容易多了。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
77.组合
可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。服务器托管
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢?
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
在关于回溯算法，你该了解这些!中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
回溯法三部曲
递归函数的亿华云返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。
为什么要有这个startIndex呢?
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。
从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
组合2
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果 void backtracking(int n, int k, int startIndex)回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢?
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分：
组合3
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
所以终止条件代码如下：
if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } 单层搜索的过程回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
组合1
如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
代码如下：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历 path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 }可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
class Solution { private: vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果 void backtracking(int n, int k, int startIndex) { if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 } } public: vector<vector<int>> combine(int n, int k) { result.clear(); // 可以不写 path.clear(); // 可以不写 backtracking(n, k, 1); return result; } };还记得我们在关于回溯算法，你该了解这些!中给出的回溯法模板么?
如下：
void backtracking(参数) { if (终止条件) { 存放结果; return; } for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 } }对比一下本题的代码，是不是发现有点像! 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。
总结
组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。
从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。
接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
剪枝优化
我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); backtracking(n, k, i + 1); path.pop_back(); }这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢?
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象，如图所示：
组合4
图中每一个节点(图中为矩形)，就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。
所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {接下来看一下优化过程如下：
已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0(path.size为0)，n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。
所以优化之后的for循环是：
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置优化后整体代码如下：
class Solution { private: vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(int n, int k, int startIndex) { if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方 path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 } } public: vector<vector<int>> combine(int n, int k) { backtracking(n, k, 1); return result; } };剪枝总结
本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一颗树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。
其他语言版本
Java
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { combineHelper(n, k, 1); return result; } /** * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。 */ private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){ //终止条件 if (path.size() == k){ result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ path.add(i); combineHelper(n, k, i + 1); path.removeLast(); } } }Python
class Solution: def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]: res=[] #存放符合条件结果的集合 path=[] #用来存放符合条件结果 def backtrack(n,k,startIndex): if len(path) == k: res.append(path[:]) return for i in range(startIndex,n+1): path.append(i) #处理节点 backtrack(n,k,i+1) #递归 path.pop() #回溯，撤销处理的节点 backtrack(n,k,1) return resGo
var res [][]int func combine(n int, k int) [][]int { res=[][]int{} if n <= 0 || k <= 0 || k > n { return res } backtrack(n, k, 1, []int{}) return res } func backtrack(n,k,start int,track []int){ if len(track)==k{ temp:=make([]int,k) copy(temp,track) res=append(res,temp) } if len(track)+n-start+1 < k { return } for i:=start;i<=n;i++{ track=append(track,i) backtrack(n,k,i+1,track) track=track[:len(track)-1] } }- 电脑重启系统还原的详细步骤（一步一步教你如何进行电脑重启系统还原）
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