一分钟了解 RSA 算法到底是个什么鬼？

发布时间：2025-11-04 13:16:22 来源：云智核 作者：系统运维

背景

大家好，分钟我是算法石头哥。

RSA 算法大家肯定都听说过了，到底它是个什鬼一种常见的非对称加密算法，常用来对一些在网络上传输的分钟敏感信息进行加密。

但具体流程不知道大家清楚不?算法本文将概述 RSA 算法的流程，并用一个简单示例进行阐述，到底最后讲解了一种意想不到的个什鬼“旁门左道”的破解方式。

RSA 算法流程

具体算法流程如下：

找到互质的分钟两个数， p 和 q，算法 计算 N = p*q

确定一个数 e，到底 使得 e 与 (p-1)(q-1) 互质，个什鬼 此时公钥为 (N,分钟 e)， 告诉给对方

确定私钥 d，算法 使得 e*d-1能够被(p-1)(q-1)整除

消息传输方传输消息 M，到底 加密密文C为:

消息接受方通过收到密文消息 C， 解密消息 M:

RSA算法依赖于欧拉定理，一个简化版本为大致为 a 和 p 互质，那么有:

即a 的 p-1 次方 对 p 取余为1，(a 的 p-1次方减去1可以整除 p)

欧拉定理的证明比较复杂，可以参考下文末的参考资料。

举个例子

还是站群服务器用个简单示例来说明：

N = pq， 取俩素数 p=11, q = 3, N = p * q = 33， 取 e 与 (p-1)(q-1) = 20 互质的数 e = 3， 然后通过

确定私钥， 即取一个 d 使得 3*d -1 能 20 被整除， 假设取 d=7 或者d=67。(3*7-1=20 当然能被20整除， 3*67-1=200 也能被20整除)

因此 public key 为 (N=33, e=3)， private key 为 d=7 或者d=67。

假设加密消息M=8， 通过加密算法，得到密文 C=8^3 % 33 = 17。

再来看解密， 由，得到明文 M = 17^7 % 33 = 8 或者 M=17^67 % 33=8， 是不是很神奇? (这里^ 表示多少次方，后文中的有的表示异或)

来， 安利一个计算器的工具， bc 命令， 支持任意精度的计算， 其实 Mac简单的计算就可以通过前面介绍的 Alfred 可以方便得完成。

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RSA 破解

如果需要破解 RSA 的话，就是免费源码下载需要找到 p 和 q， 使得 pq=33， 如果知道了 p 和 q 就能通过公钥 N 和 e 反推出私钥 d 了。

当然上面所述的案例较简单，当 N 很大时，就特别困难了。大数分解在历史以来就一直是数学上的难题。

曾经有人花了五个月时间分解了这个数39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603(159位数)， RSA-155 (512 bits) [from wikipedia]。

这条路走不通， 就有人走了"旁门左道"了， Stanford 的几个研究者用了两个小时破解了 OpenSSL 0.9.7 的 1024-bit 的 RSA 私钥 (感兴趣的同学可以看他们的论文Remote Timing Attacks are Practical)，用到的方法就是后面提到的时序攻击(或译为"计时攻击")。

计时攻击(Timing Attack)

计时攻击是边信道攻击(或称"侧信道攻击"，Side Channel Attack，简称 SCA) 的一种， 主要是一种利用不同的输入会有不同的执行时间这个特点进行的服务器托管。

刚开始看到这个，我还是大为震惊的。凭直觉想，感觉要实际应用起来干扰项太多了，是不是可以直接忽略?

不过，看到上述论文有实际攻破成功的案例，以及各大编程语言纷纷补丁来看，这样做还是非常需要的，至少是“政治”正确的。

例如 JDK 1.6.0_17 中的Release Notes 中就提到了 MessageDigest.isEqual中的 bug 的修复，如下图所示：

MessageDigest.isEqual计时攻击

参考资料:

[Timing Attacks on RSA: Revealing Your Secrets through the Fourth Dimension](http://www.cs.sjsu.edu/faculty/stamp/students/article.html)

[Remote Timing Attacks are Practical](http://crypto.stanford.edu/~dabo/papers/ssl-timing.pdf)

[费马小定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86)

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